J.J.Sakurai『現代の量子力学』Modern Quantum Mechanics 第二版
(2.1.61)で\( {<}S_x{>} \)を求めているのと同様に、(2.1.62a)に出ている\( {<}S_y{>} \)を計算したのですが、符号が反対になってしまいました。naze
→原因が分かって、最初の確率を与える式で、\( {<}S_y;\pm |=\frac{1}{\sqrt{2}}{<}+| \mp \frac{i}{\sqrt{2}}{<}-| \) というように、双対対応において係数は複素共役を取らなければならないことを忘れていた。自己解決
まず、(1.4.17b)から、\( |S_y;\pm {>}=\frac{1}{\sqrt{2}}|+{>}\pm \frac{i}{\sqrt{2}}|-{>} \)
本当はなんか\( \LaTeX \)のパッケージを使ってブラケットを綺麗に書きたいけど、軽く調べても方法がよく分からないので、今は一旦保留
\begin{equation} \begin{split} |{<}S_y ; \pm | \alpha , t_0;t{>}|^2 &= \Biggl|\Biggl[\frac{1}{\sqrt{2}}{<}+| \mp \frac{i}{\sqrt{2}}|-{>}\Biggl]\dot{} \Biggl[\frac{1}{\sqrt{2}}exp\Biggl(\frac{-i\omega t}{2}\Biggl)|+{>}+\frac{1}{\sqrt{2}}exp\Biggl(\frac{i\omega t}{2}\Biggl)|-{>}\Biggl]\Biggl|^2 \\ &= \Biggl|\frac{1}{2}exp\Biggl(\frac{-\omega t}{2}\Biggl)\mp \frac{i}{2}exp\Biggl(\frac{i\omega t}{2}\Biggl)\Biggl|^2 \\ &= \frac{1}{4}\Biggl|cos\Biggl(\frac{-\omega t}{2}\Biggl)+isin\Biggl(\frac{-\omega t}{2}\Biggl)\mp i\Biggl(cos\frac{\omega t}{2}+isin\frac{\omega t}{2}\Biggl)\Biggl|^2 \\ &= \frac{1}{4}\Biggl|cos\frac{\omega t}{2}-isin\frac{\omega t}{2}\mp \Biggl(icos\frac{\omega t}{2}-sin\frac{\omega t}{2}\Biggl)\Biggl|^2 \\ &= \begin{cases} \frac{1}{4}\Biggl|\Bigl(cos\frac{\omega t}{2}+sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)+i\Bigl(-cos\frac{\omega t}{2}-sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)\Biggl|^2 （S_y+に対して）\\ \frac{1}{4}\Biggl|\Bigl(cos\frac{\omega t}{2}-sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)+i\Bigl(cos\frac{\omega t}{2}-sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)\Biggl|^2 （S_y-に対して） \end{cases} \\ &= \begin{cases} \frac{1}{2}\Bigl(cos\frac{\omega t}{2}+sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)^2 （S_y+に対して）\\ \frac{1}{2}\Bigl(cos\frac{\omega t}{2}-sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)^2 （S_y-に対して） \end{cases} \end{split} \end{equation} よって、 \begin{equation} \begin{split} {<}S_y{>} &=\Bigl(\frac{\hbar}{2}\Bigl)\frac{1}{2}\Bigl(cos\frac{\omega t}{2}+sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)^2+\Bigl(-\frac{\hbar}{2}\Bigl)\frac{1}{2}\Bigl(cos\frac{\omega t}{2}-sin\frac{\omega t}{2}\Bigl)^2 \\ &=\frac{\hbar}{4}\Bigl(4sin\frac{\omega t}{2}cos\frac{\omega t}{2}\Bigl) \\ &=\Bigl(\frac{\hbar}{2}\Bigl)sin\omega t \end{split} \end{equation}
できた
