『高校数学でわかる複素関数』を読んだ

早稲田大学の教授である竹内淳氏が書いた『高校数学でわかる複素関数』(講談社、ブルーバックス)を読んだので感想を書こうと思う。

高校数学でわかる複素関数 微分からコーシー積分、留数定理まで (ブルーバックス)

大学1回生である私が読んだ感想としてだが、内容はとても分かりやすく「高校数学でわかる」シリーズは他に11タイトルあるとのことであるから、他のタイトルもまた非常に読みたいと思っている。

さて、著者が著した他の「高校数学でわかる」シリーズの本については分からないが、少なくとも本書に関して一つ話をしたい。

本書は「高校数学でわかる」と銘打たれているが、実際にはテイラー(マクローリン)展開、オイラーの公式、偏微分、重積分などが登場しており、純粋に高校数学だけを用いて複素関数について議論・解説するものではないということは、本書を読む前に把握しておいた方が良いと私は思う。

そういう意味では大学1回生相当の数学の知識を有していた方が読み進めやすいとは思うが、上記のテイラー展開etc…は殆ど大学1回生で学習するような内容であって高校数学の域を少し出た程度の概念であることから、高校数学から自然に拡張して理解することができると思われる。よって本書で複素関数の議論・解説をするにあたって高校数学の域を出た数学概念が使用されているからといって、必ずしも中学生や高校生が本書の内容を理解することができないと言うことは出来ないと私は思う。

しかし、そうは言ってもやはり「高校数学でわかる」と銘打たれている以上、高校数学では扱わない（実際、複素'関数'は高校数学では扱わない）概念は当然本書の中で高校数学からの自然な拡張によって解説されるべきであると読者が考えても不思議ではないだろう。そう考えた時に、テイラー(マクローリン)展開やオイラーの公式は第1章で解説されているため非常に良いと思うが、第3章や第4章に登場する偏微分や重積分に関しては、それ以前に解説されることなく"突然"登場するため、高校数学の自然な拡張による複素関数の解説を期待していた読者は度肝を抜かれるかもしれない。

偏微分に関しては、そこで扱われているものが偏微分であるということが明記されているためまだよいが、重積分に関しては文字通り"突然"登場し、まるで重積分が高校数学にも登場するかのようにアフターフォローもないことから、テイラー(マクローリン)展開やオイラーの公式が第1章で扱われていただけに、重積分が同様に第1章で少し触れられてさえいればと残念に感じた。また、実際にそのような人が存在するかどうかは別にして、本書で扱われている偏微分や重積分について書かれた部分が理解できなかったばかりに、本書を読むことを途中で放棄してしまう人が現れないかと心配でもある。

しかしながら、その他の点に関しては、私は複素関数について解説された他の本を教科書も含めて何も読んだことがないのであまり断言はできないが、入門の書として非常に良いと思う。

読了後に、複素関数についてGoogle検索で調べていたところ見つけた以下の動画は非常に分かりやすかったので、興味がある人は読んでみると良いのではないだろうか。

【前編】複素関数論ショートコース【複素積分って何？】【ローラン展開って何？】

【後編】複素関数論ショートコース【留数定理】【コーシーの積分定理】

 特に、複素関数は複素数の入力に対し複素数を出力する関数であること、また複素数は2成分もったベクトルと考えることができるので複素関数は与えられたある点に対してベクトルを返すような関数として捉えることができるという点は、本書で得た複素関数についての理解にプラスして、複素関数についての理解を深めることができたように思う。

本書でも述べられているように、複素関数は航空機の構造などを扱う際に使用する流体力学を理解する上で大きく力を発揮すると思う。複素関数がある与えられた点に対して複素数、すなわち大きさと方向をもったベクトルを返すような関数であるという認識は、上述のような複素関数と流体力学の繋がりを意識させるものとして非常に有効であると私は考える。